053.哥德尔不完备定理！

(读小说吧 www.duxs8.net) 事实上，卢格安使用的证明方法和哥德尔在1931年使用的方法并不相同。 虽然哥德尔原本的证明，也是将一个自指的语义悖论在自然数中严谨地构造出来。 但不一样的是，哥德尔选择的悖论是：“这句话不可证”，而卢格安选择的则是“贝里悖论”。 用“贝里悖论”证明不完备定理，是由后来的麻省理工学院逻辑学教授GeorgeBoolos最先提出的。 因为Boolos教授在证明中给出了某一些不可证陈述的形式，所以这种方法相比哥德尔的方法要高明一些，证明过程也更加简洁。 卢格安在仔细斟酌一番后，最终还是抛弃了哥德尔的方法，选用了“贝里悖论”。 “那么到这里，诸位对贝里悖论和它的三个结论没有问题了吧？” 好不容易挣脱开伊蕾亚“魔爪”的卢格安，将伊蕾亚不安分的小手死死攥在手里，脸上重新露出了自信的笑容。 “如果没有，那么我们就进行下一步证明了……” 金乌在不知不觉间划过天际，在苍穹之顶画出一道金色的轨迹，最终归于汤谷扶桑。 是夜，寒江自碧，月蟾高挂，弦月如弓。 希尔伯特研究所内，教室的讲台上，卢格安不知从哪搬了一把椅子，靠在椅背上侃侃而谈。 而台下一众教授级大学者则如同小学生一般正襟危坐，认真地听着卢格安的讲授。 哥德尔不完备定理的内容并不复杂，但想要证明它，就一定要实现数学命题的“自我言说”，这需要用到极为高明的数学技巧。 哪怕在场这些学者的水平都极高，想要跟上卢格安的思路，也必须要全神贯注才行！ “然而由定理知所有全可计算函数其算法的x配数组成的集合，并不是半可判定的。 然而这个集合包含P函数，所以存在一个可计算函数，我们不能证明其是否是全可计算函数，故而我们可以得出结论： 对于任何包含了自然数的自洽公理系统，存在一个公理系统中的陈述，使得其在此公理系统中不可证。” 随着卢格安话音刚落，伊蕾亚也停下书写，握着粉笔的右手微微颤抖。 这一天下来，这块黑板写了擦，擦了写，甚至连它本来的颜色都看不出来了！ 虽然期间有卢格安帮忙，但在黑板上连续写这么长时间，做为女性的伊蕾亚终究还是遭不住。 注意到这一点的卢格安赶紧起身，将座位让给伊蕾亚。 他自己则站到伊蕾亚身后，为伊蕾亚轻轻按揉着肩膀，以此减轻她的肌肉酸痛。 看着疲惫到连话都说不出来的女孩，卢格安有些心疼。 该死的，偌大的哥廷根大学竟然连一个投影仪都没有！亏你们还是德意志最有钱的大学！ 卢格安叹了口气，一边帮伊蕾亚按摩着肩膀，一边为今天的“讲座”定下最终结论。 “以上的内容，我称之为不完备定理。 真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。 所以，证明论是绝对不会成功的。” 说罢，卢格安便不再去理会台下一众呆若木鸡的教授，把注意力集中在伊蕾亚身上。 卢格安蹲在女孩面前，双手捧起女孩颤抖的右手，轻轻按捏着。 “辛苦了，伊蕾亚。” 伊蕾亚无力地摇摇头，露出一个虚弱的微笑，嘴上却仍不忘开玩笑地问道：“那你打算怎么补偿我？” “一会去喝一杯？” 伊蕾亚眨眨眼睛，明知故问地笑问道：“喝什么？咖啡吗？” “没有酒精的饮品和水有什么区别？”说着，卢格安故意露出一个‘邪恶’的笑容：“放心，这次我会点一箱伏特加。” “去你的。” 女孩风情万种地白了卢格安一眼，嘴角却遮掩不住笑意。 就在台上年轻男女旁若无人地调笑时，台下，一众教授终于回过神来。 “不完备定理……不完备定理……” 有一个中年教授紧紧抓着头发，双眼空洞地望着自己的脚尖，脸上露出一个痛苦的表情：“难道数学界坚持了400多年的观点是错的吗？” 听到这位教授痛苦的反问，周围的教授沉默不语。 自从文艺复兴时期开始，笛卡尔，莱布尼茨这些大数学家就想要找到一个可以解决一切问题的理论。 此后，几乎每一代数学家都把它做为数学界的最终理想，并且不懈地为之努力。 符号逻辑，集合论，元数学……随着一个个数学体系逐渐成熟，眼看着证明论计划将在他们这一届成功。 结果卢格安却突然蹦出来，告诉他们，数学界坚持了几百年的事情是错的？ 这如何不让这些学者痛苦万分？ 角落处，希尔伯特佝偻着身体，血丝横布的眼睛中满是不敢置信和痛苦的挣扎。 他伸手摘下那顶滑稽的粉色渔夫帽，露出了一头稀疏的白发银丝。这一刻，希尔伯特好像瞬间苍老了几十岁。 他今年已经57岁了，最多还有十年就会退休。 希尔伯特本想在退休前将证明论计划的框架彻底完成，并把它公布出去，邀请全世界学者完成它的同时，也为哥廷根大学留下一个永不熄灭的火种。 只要证明论计划还在一天，哥廷根大学就会做为“世界数学中心”一天不动摇！ 但没想到，还没等他走完第一步，就迎来了当头一击。 希尔伯特长叹了口气，看着台上那对年轻的男女，无奈地摇摇头。 后生可畏，后生可畏啊！ 虽说不完备定理的打击让希尔伯特有些消沉，但他终究还是世界上最顶尖的数学家，一项颠覆性理论的出世总归是令人高兴的。 希尔伯特抹了把脸，重新振奋精神。 “各位，现在还不是我们消沉的时候！“希尔伯特站起身来，对周围的教授们大声说道：“虽然海因里希的证明过程已经足够详细，但仍需要权威的验证，这项工作我们责无旁贷！” 接着，希尔伯特转身面向卢格安，眼神中满是赞许。 “无论不完备定理最终验证结果如何，我认为海因里希先生都值得一场热烈的掌声！” 说罢，希尔伯特带头鼓起掌来。 一名名学术界有名的教授学者点点头，一个接着一个站起身，毫无保留地对卢格安抱以最热烈掌声！ 在这一刻，卢格安在这些教授心目中，已经不再是一个普通的研究生，而是一名值得敬重的大数学家！ 台上，伊蕾亚看着眼前这一幕，听着耳边潮水般的掌声，眼圈不自觉地泛红，点点晶莹在眼框内打转。 女孩攥起拳头，名为感动的情绪在心中横冲直撞。 终于！一个多月没日没夜的努力终于没有白费！ 卢格安蹲在伊蕾亚面前，看着女孩激动到难以自已的样子，不由得露出一个发自真心的笑容。 “来吧，伊蕾亚。” 卢格安温柔地伸出手，为抹去女孩眼角的晶莹，接着拉起伊蕾亚的手，微笑着轻轻说道：“这是你应得的。” 伊蕾亚抬起头，正好对上卢格安那一眸温柔似水，难言的情绪在心中酝酿。 她不知道这种情绪究竟代表了什么，但她唯一肯定的是，这种情绪如此之强烈，以至于让她根本无法拒绝！ 只见伊蕾亚用力地点点头。她微笑着，如雪莲花绽放般绚烂。徘徊在眼角的泪水终于不争气地落下来…… ****** 去喝酒只是一句玩笑罢了，伊蕾亚确实太疲惫了。卢格安把她送回住处后，就返回了自己的宾馆。 但当他已经站在自己房门前时，却无奈地发现，自己的钥匙好像忘在学校了，所以只好返回哥廷根大学。 深夜，哥廷根大学里一片黑暗，只有路灯的光芒盈盈闪烁。 卢格安一路来到研究所，在储物柜里找到钥匙后，刚想要离开时，却发现希尔伯特的办公室依旧亮着灯。 教授忘记关灯了吗？ 卢格安如是猜测着，直接推门走进办公室，却看到一个意料之外的人。 “嗯？希尔伯特教授？您还没走？” 只见希尔伯特坐在办公桌后，眼神如木偶般呆滞地盯着杯中旋转的咖啡，不知道在想些什么。 听到卢格安的声音后，希尔伯特好像触电一样被惊醒。 “海因里希？有什么事吗？” 卢格安耸耸肩，举起手中的钥匙：“我忘记带钥匙了。” “哦，原来如此。”希尔伯特靠回椅背上，反复低声喃喃着：“原来如此……” 看着明显情绪有些不对的希尔伯特，卢格安狐疑地询问道：“发生什么事了吗？希尔伯特教授？” 希尔伯特抬起头。 在台灯的光芒下，卢格安这才发现，希尔伯特的眼睛中满是血丝，眼角微微泛红，好像刚哭过一场般。 看着希尔伯特这副憔悴的样子，卢格安心里猛地一震！ “见笑了。”希尔伯特摇摇头，勉强挤出一个难看的笑容：“要喝点咖啡吗？哥廷根的咖啡和它的历史一样醇厚。” 卢格安盯着希尔伯特看了半晌，突然露出一个笑容。 “如果真是这样，那我可要好好尝尝了……”